Электротехника (ТОЭ)

Как решать задачи по ТОЭ: от законов Кирхгофа до переходных процессов

Теоретические основы электротехники пугают объёмом, но почти любая расчётная задача сводится к нескольким методам и строгой дисциплине знаков. Ниже разбираем порядок действий, короткий пример с числами и способы проверить ответ до того, как его увидит преподаватель.

27 сентября 2026 г.8 мин чтения

Содержание

С чего начать любую задачу

Первое, что стоит сделать, это аккуратно перерисовать схему и подписать всё: номера узлов, ветвей, направления токов и ЭДС. Направления токов выбираются произвольно, но один раз и до конца решения. Если ток в ответе вышел отрицательным, это не ошибка: значит, реальное направление противоположно выбранному. Ошибкой будет, если на середине решения вы молча развернёте стрелку.

Дальше посчитайте характеристики схемы: число ветвей p, число узлов q и число ветвей с источниками тока. От этого зависит, какой метод даст меньше уравнений. Полезно сразу упростить схему: последовательные и параллельные резисторы свернуть, идеальный источник тока в ветви запомнить как известный ток.

Перерисовать схему, пронумеровать узлы и ветви, задать направления токов.
Посчитать p и q, выбрать метод с наименьшим числом уравнений.
Составить уравнения, следя за знаками.
Решить систему (удобно матрицами или подстановкой).
Найти токи всех ветвей и проверить баланс мощностей.

Законы Ома и Кирхгофа: фундамент

Закон Ома для участка связывает напряжение и ток на резисторе. Для ветви с источником удобнее обобщённая форма, где учитывается ЭДС.

U = I · R; I = (φ1 − φ2 + E) / R

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Независимых уравнений по нему q − 1. Второй закон: в любом замкнутом контуре сумма ЭДС равна сумме падений напряжений. Независимых контуров p − q + 1. Всего получается p уравнений на p неизвестных токов, и для простой схемы из трёх ветвей этот путь вполне рабочий.

Σ I = 0 (узел); Σ E = Σ I · R (контур)

Правило знаков во втором законе: выбираете направление обхода контура. ЭДС, совпадающая с обходом, берётся с плюсом; падение I · R берётся с плюсом, если ток в резисторе совпадает с обходом. Большинство ошибок в ТОЭ рождается именно здесь, поэтому знаки лучше выписывать отдельной строкой для каждого контура.

Контурные токи и узловые потенциалы

Метод контурных токов сокращает систему до p − q + 1 уравнений. В каждом независимом контуре вводится условный контурный ток, а реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, которые через неё проходят. Собственное сопротивление контура R11 равно сумме всех сопротивлений контура, взаимное R12 равно сопротивлению общей ветви со знаком «плюс», если контурные токи в ней направлены одинаково, и «минус», если встречно.

R11 · I11 + R12 · I22 = E11; R21 · I11 + R22 · I22 = E22

Метод узловых потенциалов даёт q − 1 уравнений: один узел заземляют (φ = 0), для остальных пишут уравнения через собственные и взаимные проводимости. Взаимная проводимость всегда входит со знаком минус. Метод особенно выгоден, когда узлов мало, а ветвей много, например в схемах с двумя узлами, где он превращается в формулу межузлового напряжения.

U12 = Σ (E · g) / Σ g, где g = 1 / R

Как выбрать метод

Сравните p − q + 1 и q − 1. Чего меньше, тот метод и берите. Если в схеме есть идеальный источник тока, контур через него получает известный контурный ток, а при узловом методе этот ток просто добавляется в правую часть.

Мини-пример: два источника и три ветви

Схема с двумя узлами a и 0. Ветвь 1: источник E1 = 12 В и R1 = 2 Ом, ЭДС направлена к узлу a. Ветвь 2: только R2 = 4 Ом. Ветвь 3: источник E2 = 6 В и R3 = 4 Ом, ЭДС тоже направлена к узлу a. Принимаем φ0 = 0 и пишем одно уравнение для узла a.

φa · (1/2 + 1/4 + 1/4) = 12/2 + 6/4 ⇒ φa = 7,5 В

Токи ветвей (положительное направление к узлу a для ветвей с источниками и от узла a для R2): I1 = (12 − 7,5) / 2 = 2,25 А; I2 = 7,5 / 4 = 1,875 А; I3 = (6 − 7,5) / 4 = −0,375 А. Минус у I3 означает, что ток течёт против ЭДС E2: второй источник в этой схеме потребляет энергию. Проверка по первому закону: 2,25 − 0,375 = 1,875, сходится.

Баланс мощностей. Источники: E1 · I1 = 12 · 2,25 = 27 Вт, E2 · I3 = 6 · (−0,375) = −2,25 Вт, сумма 24,75 Вт. Приёмники: 2,25² · 2 = 10,125 Вт, 1,875² · 4 = 14,0625 Вт, 0,375² · 4 = 0,5625 Вт, сумма 24,75 Вт. Баланс сошёлся, значит, токи найдены верно.

Метод эквивалентного генератора

Когда нужен ток только в одной ветви (часто это «нагрузка» Rн), всю остальную схему заменяют источником с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением Rэ. Eэ равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, Rэ равно входному сопротивлению схемы относительно этих зажимов, когда источники ЭДС закорочены, а источники тока разомкнуты.

Iн = Eэ / (Rэ + Rн); Pн max при Rн = Rэ

Проверим на нашем примере, приняв R2 за нагрузку. Без R2 ток по контуру из ветвей 1 и 3 равен (12 − 6) / (2 + 4) = 1 А, напряжение холостого хода Eэ = 12 − 1 · 2 = 10 В. Rэ = 2 · 4 / (2 + 4) ≈ 1,333 Ом. Тогда I2 = 10 / (1,333 + 4) = 1,875 А, тот же ответ. Сверка двумя методами хорошо смотрится на защите.

Синусоидальный ток в комплексной форме

Для цепей переменного тока все методы выше работают без изменений, только вместо чисел используются комплексы. Сопротивление индуктивности равно jXL = jωL, ёмкости равно −jXC = −j / (ωC). Токи и напряжения записываются комплексными действующими значениями, а мгновенные значения восстанавливаются в конце.

Z = R + j(XL − XC); İ = U̇ / Z; S̃ = U̇ · I* = P + jQ

Пример: U = 220 В (действующее), R = 30 Ом, XL = 40 Ом последовательно. Z = 30 + j40, модуль 50 Ом, угол φ = arctg(40/30) ≈ 53,13°. Ток I = 220 / 50 = 4,4 А и отстаёт от напряжения на 53,13°. Мощности: P = 4,4² · 30 = 580,8 Вт, Q = 4,4² · 40 = 774,4 вар, S = 220 · 4,4 = 968 ВА. Проверка: √(580,8² + 774,4²) = 968, cos φ = 0,6.

Комплексная арифметика требует уверенного перехода между алгебраической и показательной формой. Если это место проседает, полезно повторить основы по статье о высшей математике, а длинные системы с комплексными коэффициентами удобно проверять в Python или MathCAD, об этом есть заметка про разбор задач по программированию.

Векторная диаграмма здесь не формальность, а ещё одна проверка. Отложите вектор тока по горизонтали, напряжение на резисторе совпадает с ним по фазе, на индуктивности опережает на 90°, на ёмкости отстаёт на 90°. Сумма векторов должна замкнуться на вектор приложенного напряжения. Если треугольник не сходится, ошибка в расчёте комплексов, а не в рисунке. При резонансе напряжений XL = XC, ток максимален и совпадает по фазе с напряжением, а напряжения на реактивных элементах могут заметно превышать входное. Это любимый вопрос на защите, поэтому стоит уметь объяснить его и на диаграмме, и формулой.

Переходные процессы коротко

Классический метод опирается на законы коммутации: ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не меняются скачком. Порядок такой: найти независимые начальные условия до коммутации, найти принуждённую составляющую в новом установившемся режиме, составить характеристическое уравнение, записать свободную составляющую и определить постоянные интегрирования из начальных условий.

uC(t) = E · (1 − e^(−t/τ)), τ = R · C; iL(t) = (E / R) · (1 − e^(−t/τ)), τ = L / R

Практическая оценка: за время 3τ процесс завершается примерно на 95%, за 5τ более чем на 99%. Если ваш график «уходит в бесконечность» или начальное значение не совпадает с режимом до коммутации, ищите ошибку в начальных условиях.

Типичные ошибки

Направление тока поменяли на середине решения, и знаки в уравнениях перестали совпадать.
Взаимное сопротивление в методе контурных токов взято с плюсом при встречных токах.
Смешаны амплитудные и действующие значения: Um = √2 · U, и в формулах мощности нужно действующее.
Угол φ считается от тока к напряжению, а не наоборот, и характер нагрузки определён неверно.
Реактивная мощность ёмкости записана с плюсом, хотя она отрицательна.
При переходном процессе напряжение на конденсаторе «прыгает» в момент коммутации.
Потеряны единицы: мГн и мкФ не переведены в Гн и Ф.

Самопроверка за две минуты

Проверьте первый закон Кирхгофа в каждом узле, сведите баланс активной и реактивной мощности, оцените порядок величин (ток 400 А в учебной цепи на 12 В почти всегда говорит об ошибке) и при возможности посчитайте ключевой ток вторым методом.

Что проверяет преподаватель и как готовиться к защите

Преподавателю важен не только ответ. Он смотрит на схему с обозначениями, обоснование выбора метода, правильность уравнений, баланс мощностей и векторную диаграмму для цепей синусоидального тока. На защите типичные вопросы такие: почему выбран этот метод, откуда знак у взаимного сопротивления, что означает отрицательный ток, как изменится ток нагрузки, если Rн увеличить вдвое, почему напряжение на ёмкости не меняется скачком.

Умейте за минуту составить уравнения для своей схемы без подсказок.
Держите под рукой численный баланс мощностей и объясните, какой источник работает в режиме потребителя.
Нарисуйте векторную диаграмму от руки: это частый вопрос.
Повторите законы коммутации и физический смысл постоянной времени.

Подход «схема, метод, уравнения, проверка» полезен не только в ТОЭ: та же логика работает в механике, где вместо баланса мощностей сводят уравнения равновесия, подробнее в статье про сопромат и теормех.

Если решение застряло на знаках или комплексных числах, на Акадии можно найти специалиста, который разберёт вашу задачу по шагам и объяснит решение так, чтобы вы уверенно ответили на защите.