Как решать типовые задачи по высшей математике: пределы, интегралы, ДУ

Пределы: сначала тип неопределённости

Первое действие в любом пределе: подставить предельное значение и посмотреть, что получилось. Если вышло число, это и есть ответ. Если получилось 0/0, ∞/∞, 1^∞, ∞ − ∞ или 0·∞, это неопределённость, и от её типа зависит приём.

• ∞/∞ у многочленов и дробей: делим числитель и знаменатель на старшую степень x.
• 0/0 с корнями: домножаем на сопряжённое выражение.
• 0/0 с тригонометрией, логарифмами, экспонентой: первый замечательный предел или эквивалентности.
• 1^∞: второй замечательный предел.
• Если ничего не помогает, но функции дифференцируемы: правило Лопиталя.

Эквивалентности при x → 0 заменяют функцию на более простую в произведении и частном: sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x, ln(1 + x) ~ x, eˣ − 1 ~ x, 1 − cos x ~ x²/2, (1 + x)ᵃ − 1 ~ ax.

Пример 1. lim (x→0) sin 3x / x. Заменяем sin 3x ~ 3x, получаем 3x/x = 3. Пример 2. lim (x→∞) (1 + 2/x)^x. Сводим ко второму замечательному пределу: (1 + 2/x)^x = ((1 + 2/x)^(x/2))², внутренняя скобка стремится к e, ответ e². Пример 3 на Лопиталя: lim (x→0) (eˣ − 1 − x)/x². Неопределённость 0/0, дифференцируем числитель и знаменатель: (eˣ − 1)/(2x), снова 0/0, ещё раз: eˣ/2 → 1/2.

Производные и исследование функции

Производные берутся по таблице и трём правилам: производная произведения, частного и сложной функции. Больше всего ошибок в сложной функции: забывают умножить на производную внутренней. Например, (sin x²)′ = cos x² · 2x, а не просто cos x².

Исследование функции идёт по стандартному плану, и преподаватель проверяет каждый пункт:

1. Область определения, чётность, точки пересечения с осями.
2. Асимптоты: вертикальные в точках разрыва, наклонные y = kx + b, где k = lim f(x)/x, b = lim (f(x) − kx).
3. Первая производная: критические точки, промежутки монотонности, экстремумы.
4. Вторая производная: выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
5. Таблица знаков и эскиз графика, согласованный со всеми найденными данными.

Мини-пример: f(x) = x³ − 3x. f′(x) = 3x² − 3 = 0 при x = ±1. На (−∞; −1) производная положительна, на (−1; 1) отрицательна, на (1; +∞) снова положительна. Значит, x = −1 максимум, f(−1) = −1 + 3 = 2; x = 1 минимум, f(1) = 1 − 3 = −2. f″(x) = 6x, перегиб в точке x = 0. Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат, и найденные точки (−1; 2) и (1; −2) это подтверждают.

Интегралы: подстановка, по частям, дроби

Неопределённый интеграл почти всегда сводится к одному из трёх приёмов. Выбор делается по виду подынтегральной функции.

• Подстановка, если под интегралом есть функция и её производная (с точностью до множителя). ∫ 2x cos(x²) dx: t = x², dt = 2x dx, получаем ∫ cos t dt = sin(x²) + C.
• По частям, если под интегралом произведение многочлена на eˣ, sin, cos (многочлен берём за u) или на ln x, arctg x (их берём за u).
• Дробно-рациональные: если степень числителя не меньше степени знаменателя, сначала делим уголком, потом раскладываем на простейшие дроби.

Пример по частям: ∫ x eˣ dx. Берём u = x, dv = eˣ dx, тогда du = dx, v = eˣ. Получаем x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C.

Пример с дробью: ∫ dx/(x² − 1). Раскладываем знаменатель (x − 1)(x + 1) и ищем 1/(x² − 1) = A/(x − 1) + B/(x + 1). Подставляя x = 1 и x = −1, получаем A = 1/2, B = −1/2. Интеграл равен ½ ln|x − 1| − ½ ln|x + 1| + C = ½ ln|(x − 1)/(x + 1)| + C.

Отдельно стоят тригонометрические интегралы. Произведения вида sin ax·cos bx переводят в сумму по формулам тригонометрии. Чётные степени sin²x и cos²x понижают: sin²x = (1 − cos 2x)/2. Если одна из степеней нечётная, отделяют один множитель и делают замену: в ∫ sin³x dx пишем sin²x·sin x dx = (1 − cos²x)·sin x dx и берём t = cos x. Универсальная подстановка t = tg(x/2) работает всегда, но даёт громоздкие дроби, её оставляют на крайний случай.

В определённом интеграле при замене переменной обязательно пересчитывайте пределы интегрирования, иначе придётся возвращаться к старой переменной. Для несобственных интегралов сначала записывайте предел, а потом считайте, это часть оформления, которую проверяют.

Дифференциальные уравнения

Для уравнений первого порядка сначала определите тип, потом применяйте метод. Самые частые типы: с разделяющимися переменными, однородные (замена y = ux) и линейные y′ + p(x)y = q(x) (метод Бернулли y = uv или вариация постоянной).

Пример с разделением переменных: y′ = 2xy. Записываем dy/y = 2x dx, интегрируем: ln|y| = x² + C, откуда y = C e^(x²). Пример линейного: y′ + y = x. Решение однородного y = Ce^(−x), частное ищем в виде y = ax + b: a + ax + b = x, откуда a = 1, b = −1. Общее решение y = x − 1 + Ce^(−x).

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y″ + py′ + qy = f(x) решаются через характеристическое уравнение k² + pk + q = 0.

• Два разных вещественных корня k₁, k₂: y = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x).
• Один кратный корень k: y = (C₁ + C₂x)e^(kx).
• Комплексные корни α ± βi: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx).

Пример: y″ − 5y′ + 6y = 6. Характеристическое уравнение k² − 5k + 6 = 0 даёт k = 2 и k = 3. Правая часть константа, частное решение ищем как y = A: 6A = 6, A = 1. Ответ: y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) + 1. Если правая часть содержит eᵏˣ и k совпадает с корнем характеристического уравнения, частное решение домножают на x, это забывают чаще всего. Такие же уравнения описывают переходные процессы в цепях, подробнее в статье как решать задачи по ТОЭ.

Линейная алгебра: Гаусс и определитель

Систему линейных уравнений надёжнее всего решать методом Гаусса: приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк, потом идём обратным ходом снизу вверх.

Пример: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Из второй строки вычитаем удвоенную первую: −3y − z = −9. Из третьей вычитаем первую: y − 2z = −4. Умножаем последнее на 3 и складываем с предыдущим: −7z = −21, z = 3. Тогда y = −4 + 2·3 = 2, x = 6 − 2 − 3 = 1.

Определитель той же матрицы коэффициентов раскрываем по первой строке: 1·((−1)(−1) − 1·2) − 1·(2·(−1) − 1·1) + 1·(2·2 − (−1)·1) = −1 + 3 + 5 = 7. Он не равен нулю, значит решение единственное. По Крамеру Δz = 21 (заменяем третий столбец на 6, 3, 2), и z = 21/7 = 3, что совпадает с Гауссом. Такой двойной расчёт хорошо ловит арифметические ошибки. Если систем много, их удобно проверять в коде, об этом в статье про разбор задач по программированию.

Если определитель равен нулю, система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Это решает теорема Кронекера-Капелли: сравните ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы. Ранги разные, решений нет; ранги равны, но меньше числа неизвестных, часть переменных объявляют свободными и записывают общее решение через них. Обратную матрицу проверяют умножением: A·A⁻¹ должно дать единичную матрицу.

Самопроверка: как убедиться, что ответ верный

В высшей математике почти любой ответ можно проверить независимо от решения. Это самый дешёвый способ не потерять баллы.

• Интеграл: продифференцируйте ответ. ((x − 1)eˣ)′ = eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ, получили подынтегральную функцию, значит верно.
• ДУ: подставьте решение в уравнение. Для y = x − 1 + Ce^(−x): y′ = 1 − Ce^(−x), y′ + y = x, тождество выполняется при любом C.
• Система: подставьте найденные x, y, z во все исходные уравнения, а не в преобразованные.
• Предел: подставьте в функцию значение, близкое к предельному (например x = 0,01), и сравните с ответом на калькуляторе.
• Экстремумы: сверьте знаки производной с эскизом графика.

Типичные ошибки и что проверяет преподаватель

• Потерянная константа C в неопределённом интеграле и в общем решении ДУ.
• Замена эквивалентными внутри суммы или разности.
• Правило Лопиталя применено без неопределённости или вместо производной частного взята производная дроби.
• Не пересчитаны пределы интегрирования при замене.
• Деление на выражение, которое может быть нулём, при разделении переменных: теряются решения вроде y = 0.
• Ошибки знака при раскрытии определителя и при вычитании строк.

Преподаватель смотрит не только ответ, но и обоснование: указан ли тип неопределённости, назван ли метод, записан ли тип ДУ, есть ли проверка. Верный ответ без хода решения часто не засчитывают, а аккуратное решение с одной арифметической ошибкой может получить большую часть баллов.

Как готовиться к экзамену

1. Составьте одну страницу шпаргалки для себя: таблица производных и интегралов, эквивалентности, три случая корней характеристического уравнения.
2. Для каждого типа задач решите 5-7 примеров подряд, пока выбор метода не станет автоматическим.
3. Потом решайте вперемешку: на экзамене главная сложность в том, чтобы узнать тип задачи.
4. Выучите формулировки основных теорем (Ролля, Лагранжа, Ньютона-Лейбница) и умейте показать их смысл на рисунке, это частые устные вопросы.
5. Проверяйте каждое решение дифференцированием или подстановкой, привычка сохраняется и на экзамене.

Математика нужна и дальше: на ней построены сопротивление материалов и механика, где интегралы и ДУ встречаются в каждом расчёте, подробнее в статье про сопромат и теормех.

Если задача не поддаётся или ответ не сходится с проверкой, на Акадии можно найти специалиста, который разберёт задачу по шагам, объяснит решение и проверит ваше собственное.